Pocheja so Angeli izbrali v drugem krogu nabora leta 1986. Leta 1989 je z Angeli debitiral v prvi ligi in z ekipo preživel večino naslednjih treh sezon. Leta 1992 je bil zamenjan za Redse, kjer je preživel naslednje štiri sezone. Svojo prvoligaško kariero je končal pri Padresu leta 1996.
Na splošno je Poche dosegel rekord 53–52 s 4,26 ERA v 157 tekmah kariere. Zadel je 535 udarcev v 923 menjavah.
Po upokojitvi iz baseballa je Poche postal trener podajanja. Delal je v sistemih manjših lig Angels, Reds in Seattle Mariners. Trenutno je trener podajanja za Louisville Bats, podružnico Triple-A Cincinnati Reds.