Begay se je rodil v Tuba Cityju v Arizoni 11. januarja 1954. Odraščal je v rezervatu Navajo, kjer je od svojih staršev in starih staršev spoznaval tradicionalno kulturo Navajo. Begay je začel risati in slikati že v mladosti in kmalu je ugotovil, da ima talent za umetnost.
Po končani srednji šoli je Begay študiral umetnost na Inštitutu za umetnost ameriških Indijancev v Santa Feju v Novi Mehiki. Nato je obiskoval univerzo v Arizoni, kjer je diplomiral iz likovnih umetnosti.
Begayeve slike prikazujejo različne teme, vključno z navaškimi obredi, obredi in vsakdanjim življenjem. Za njegovo delo so značilne živahne barve, zapleteni vzorci in močan občutek duhovnosti. Begayeve slike so bile hvaljene zaradi svoje lepote, kulturnega pomena in sposobnosti, da ujamejo bistvo življenja Navajo.
Begayeva dela so bila razstavljena v muzejih in galerijah po vsem svetu, vključno z inštitutom Smithsonian, muzejem Heard in muzejem moderne umetnosti. Prejel je tudi številne nagrade, vključno s štipendijo National Endowment for the Arts Fellowship, nagrado guvernerja Arizone za umetnost in nagrado Native American Art Awards.
Begayeva dela še naprej navdihujejo in izobražujejo gledalce o navaški kulturi. Velja za enega najpomembnejših indijanskih umetnikov svoje generacije.
Begay je umrla za rakom 17. avgusta 2012 v Tuba Cityju v Arizoni. Bil je star 58 let.